Читать онлайн Метод конечных элементов бесплатно
Введение
Метод конечных элементов – один из т. н. сеточных методов. Такие методы предполагают рассмотрение цельной конструкции как совокупности отдельных конечных элементов, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1. Разбиение конструкции на конечные элементы. а – нумерация конечных элементов; б – нумерация узлов.
В качестве конечных элементов выступают знакомые нам из сопротивления материалов и строительной механики стержни, балки, плиты, оболочки и т. п. По сути своей решение методом конечных элементов сводится к решению уравнения задачи в динамической постановке:
M∙d2u/dt2+C∙ du/dt+K∙u = P
где M – матрица масс конструкции;
C – матрица демпфирования конструкции;
K – матрица жёсткости конструкции;
d2u/dt2 – вектор ускорений узлов конструкции;
du/dt – вектор скоростей узлов конструкции;
u – вектор перемещений узлов конструкции;
P – вектор узловых нагрузок.
Если вектор узловых сил P не меняется во времени, то задача сводится к статической, описываемой уравнением:
K∙u = P
Так как многие задачи в машиностроении сводятся к статическим, то упор в книге будет делаться на них. Для рассмотрения задач будет использоваться среда MathCad 15.
Алгоритм МКЭ
Для того, чтобы решить уравнение необходимо провести предварительную подготовку. В общем и целом, алгоритм решения выглядит следующим образом:
1) Разбиение конструкции на конечные элементы;
2) Составление матрицы жёсткости каждого конечного элемента;
3) Перевод матрицы жёсткости из локальной системы координат в глобальную;
4) Составление глобальной матрицы жёсткости всей конструкции;
5) Приведение нагрузок к узловым;
6) Учёт закреплений;
7) Решение уравнения:
u = K-1∙P
Операция 1, на взгляд автора, интуитивно понятная и не требует пояснений.