Читать онлайн Математика нуждается в систематизации бесплатно

Систем в математике много,

Но сущность у них всегда одна:

Четыре исходных объекта строго,

А основа – множество, как среда.

Введение

Технарям часто приходится иметь дело с математикой, которая их не всегда устраивает. Профессиональные математики часто «зацикливаются» на решении сложных проблем, забывая навести порядок в простейших основах математики, поэтому взгляд со стороны иногда бывает полезен. Науке известны случаи, когда взгляд со стороны приводил к открытиям. В данном случае сделана попытка посмотреть на математику со стороны теории систем, которая во всех науках пытается найти системные закономерности. Выясняется, что математика сама является системой, так как содержит все присущие естественным системам атрибуты. Она ведь естественным образом отображает их.

Дело в том, что математика сама по себе мало чего стоит. Она рождена Природой и предназначена для совершенствования искусственных систем по образу и подобию естественных. В этом смысле весь аппарат математики должен отражать соответствующие реальности, развитием и формой существования которых предопределен выбор математических объектов, т.е. он должен быть системой. Только в этом случае чистая математика может принести реальную пользу.

Кратко о системах. «Система» – понятие весьма распространенное. В интернете дается более 66 млн. ссылок на это понятие. Обращает на себя внимание то, что довольно много ссылок на объекты, как на системы, но эти объекты системами не являются и что среди этих ссылок нет ни одной с всеобщим определение систем.

К числу непосредственных предшественников разработки теории систем можно отнести А.А. Богданова с его тектологией, как всеобщей организационной наукой. Современная разработка этой теории осуществлялась такими авторами, как Л. фон Берталанфи, М. Месарович, Р. Акоф, Л. Заде, О Ланге, А.И. Уемов, И.В. Блауберг, В.Н. Садовский, Э.Г. Юдин др.

Авторы едины в понимании общих задач теории систем, но ориентируются на различные предметные области и используют разный логико-математический аппарат. Причем, ни один автор не дал общего определения понятия систем, хотя таких попыток сделано немало. Очевидно, причиной такого положения служит разнообразие систем. В результате этого трудно находить в них общие характеристики, а потому недостаточно полно раскрыта их природа.

Анализ различных видов систем показал, что свойства и закономерности хорошо работающих технических систем соответствуют естественным системам, хотя не раскрытыми остаются теоретические вопросы их структурообразования. Ситуация соответствует тому, что в свое время остроумно подметил А. Эйнштейн.

«Теория— это когда все известно, но ничего не работает. Практика— это когда все работает, но никто не знает почему. Мы же объединяем теорию и практику: ничего не работает… и никто не знает почему!» [1].

Эйнштейн оказался прав в том, что в существующей теории систем вроде все известно, но универсальная система не работает, а технические системы работают, но никто не знает почему. В данном же случае сделана попытка показать, что многие системы не работают потому, что не соблюдаются закономерности образования естественных систем.

Технические системы работают потому, что методом проб и ошибок технари вышли на законы Природы и по ним построили свои системы. Гуманитарии же, в том числе математики, возомнили себя членами особой касты, которая может обходиться без аналогий с техникой и вообще без всеобщих законов развития Природы. Технические системы большие и малые хорошо работают, а, например, математику нельзя назвать системой.

В чем тут дело? А дело в том, как выразился Фридрих фон Хайек, что из-за огромной, разницы между методами, характерными для технических наук и наук социальных, учёный естествоиспытатель, обратившийся к тому, что делают профессиональные исследователи общественных явлений, зачастую обнаруживает, что науки об общественных системах, соответствующей техническим стандартам, до сих пор не существует.

Приходится с величайшим сожалением констатировать, что ученые – гуманитарии не признают методологии технических наук. Ведь технари, прежде чем описать свою идею, сначала нарисуют эскиз или схему, затем просчитают возможные взаимодействия элементов, создавая проектно-конструкторскую документацию и только после этого идея реализуется на практике.

Из общих методов системного исследования следует отметить достаточно хорошо разработанный фон Берталанфи метод, при котором принимается мир таким, каким он обнаруживается, исследуются содержащиеся в нем различные системы – зоологические, физиологические и т. п., а затем делаются выводы о наблюдаемых закономерностях [2].

С этим можно было бы согласиться, если бы не было более простых естественных систем. Но в одном фон Берталанфи прав: системы надо изучать не просто как образ живой природы, а начинать надо с самой сложной системы биологического развития, т.е. с человека, который имеет хорошо известную и постоянно применяемую простейшую систему управления.

Что общего у всех систем? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо провести тщательный анализ всех типов систем и их свойств. На основе такого анализа станет возможным построение всеобщей модели систем и появятся основания для формулирования общего определения этого понятия.

О понятийном аппарате математических теорий.

В каждом конкретном случае выбор математического аппарата предопределяется, главным образом, традициями той научной школы, представителем которой является исследователь. Существенных неудобств это обстоятельство, как правило, не вызывает, если исследование носит узко дифференцированную направленность. В нашем же случае, когда требуется описать интегрированную в самом широком смысле систему отношений между объектами с качественно различной природой, вопрос выбора математического аппарата приобретает первостепенное значение.

Особую остроту ему придает то обстоятельство, что как выразился один из выдающихся математиков XX века Герман Вейль, вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Это достаточно сдержанное выражение было сделано в 1944 году ученым, который с глубоким чувством гуманизма боролся за истину, понимаемую, прежде всего, как нравственную ценность общечеловеческого характера, и, с уходом которого из науки ушло единство и бескорыстность знания.

Поэтому современные математики и философы выражаются более категорично: кризис математики не преодолен, утрачены критерии абсолютности истины, существует неуверенность в выборе правильного подхода к математике, конфликты по основаниям математики отрицательно сказались на развитии и применении математической методологии и т. д.

Однако, такая категоричность в оценке состояния математики вовсе не означает отказа от ее применения. "Если я не знаю, как работает мой желудок, это не означает, что я не должен кушать". Эта мысль Гегеля является лейтмотивом современных оптимистов в математике, успешно применяющих ее в науке, технике, экономике и других областях. В нашем случае с таким оптимизмом в определенном смысле можно согласиться, но только отчасти.

Речь может идти лишь о том уровне неопределенности применяемого математического аппарата, который, с одной стороны, предопределен нашими возможностями получения достоверной информации об объекте исследования, а с другой стороны, ограничен целью описания изучаемых явлений. Это предъявляет особые требования к выбору математического аппарата, который должен обеспечить получение результата исчерпывающей полноты при довольно широком диапазоне неопределенности информации о разных объектах и при весьма жестких условиях применения, требующих предельной простоты и наглядности применяемых выкладок.

Это весьма существенное в данном случае обстоятельство заставляет проанализировать самые разнообразные области математики с целью выявления такого минимума наиболее простых математических форм и средств, который был бы необходим и достаточен для решения поставленных перед данным исследованием задач. При этом, прежде всего, будем исходить из чисто прагматического соображения практической полезности рассматриваемых математических теорий: любая из них имеет право на существование, если с ее помощью получен хотя бы один положительный результат.

Такой принцип является основой системного подхода, методологическая форма которого выражает естественную (природную) сущность потребностей человека. Потребительские свойства объекта (в данном случае -теории) предопределяют ее полезность, продолжительность и "географию" проявляемого к ней интереса со стороны наиболее авторитетных исследователей. В этом заключается суть второго принципа системного подхода – соответствие основных свойств объекта (теории) потребностям человека (исследователя).

Заниматься поисками чего-то общего в существующих теориях, не оговорив заранее, что же мы хотели бы в них найти, дело весьма бесперспективное. Поэтому обратимся к третьему принципу системного подхода, т. е. определимся относительно принципа подобия форм, согласно которому к любой теоретической системе предъявим следующие формальные требования:

– теория должна иметь неопределимые первичные понятия об объектах исследования;

– быть непротиворечивой;

– содержать независимые с точки зрения познания методы исследования;

– обладать симметрией.

Эти требования можно обобщить в виде принципов, в той или иной форме сформулированных учеными-классиками и ставших фундаментальными в прикладных науках, особенно, в физике. К ним относятся принципы неопределенности, сохранения, относительности и симметрии. Этот, пожалуй, исчерпывающий перечень фундаментальных в науке принципов должен стать своего рода эталоном для сравнения оснований рассматриваемых теорий, причем в первую очередь с точки зрения их наличия и использования в явном или неявном виде.

Выбранных путей не должно быть слишком много, чтобы не превратить их анализ в самостоятельное исследование, а сами они должны принадлежать к соперничающим научным течениям, что гарантирует от ошибок при выявлении наиболее общих принципов в построении математического аппарата.

Исходя из этих соображений, можно рассмотреть следующие классические теоретические направления в математике:

– теоретико-множественное направление, система аксиом которого известна как система Цермело-Френкеля;

– логизм Фреге-Рассела;

– интуиционизм Брауэра;

– формализм Гильберта;

– единая теория Вейля;

– единая теория поля Эйнштейна;

– всеобщая организационная наука – тектология Богданова.

Из наиболее популярных в настоящее время можно выделить теорию групп и топологию. Все эти теории претендуют или в свое время претендовали на универсальность, следовательно, их выбор не противоречит четвертому принципу системного подхода – принципу всеобщности результата.

Любой анализ того или иного объекта, а системный тем более, должен, во-первых, дать ответ на вопрос, достигнута ли поставленная цель. Во-вторых, при этом требуется определить причины, которые привели объект к известным последствиям. В-третьих, должно быть раскрыто содержание противоречий, свойственных этим причинам. И, в-четвертых, безусловно необходимым является количественная оценка каждого из противоречий по отношению к другим, т. е. определение их весомости.

На первый вопрос ответ дает история: ни одна из математических концепций экзамен на всеобщую универсальность не выдержала. Существует даже мнение, что такую единую теорию в принципе создать нельзя. Тем не менее поиски в этом направлении не прекращаются, очевидно, потому что результаты таких работ оказываются весьма плодотворными. Здесь все ясно: достичь абсолютной истины нельзя, но к ней надо стремиться.

Вопрос заключается в оценке направления движения к истине и темпов приближения к ней. Но этот вопрос относится к следующему этапу анализа – выявлению причин. Тщательный анализ перечисленных выше теорий, и не только их, показал, что все они опираются на фундаментальные принципы, независимо от того, признаются ли они авторами теорий, умалчиваются ли или категорически отрицаются. Более того, именно этими принципами и именно в такой их совокупности объясняется живучесть этих теорий и их полезность.

Другое дело, что авторы соответствующих теорий по-разному относились к ним и весьма неоднозначно их толковали, в результате чего и возникали различные противоречия по типу знаменитого парадокса Рассела в теории множеств. Так, квантовая теория поля строится, главным образом, на основе принципа неопределенности Паули, формализм Гильберта базируется на принципе непротиворечивости, единая теория поля Эйнштейна немыслима без принципа относительности, а многие открытия в ядерной физике обязаны теориям, в основе которых заложен принцип симметрии.

Вообще говоря, это вполне естественно, когда ученый берет в качестве первичного какой-то один фундаментальный принцип и относительно него комбинирует все остальные. Неестественным является категорическое отрицание других принципов, поскольку это приводит к казусам в науке, а иногда и к драматическим ситуациям. Последнее особенно характерно для экономических теорий русских ученых (А. Богданов, Е Бухарин и многие другие).

Математика – наука достаточно строгая, поэтому в ней произвола относительно какого-нибудь принципа значительно меньше, чем в других науках, ибо, отбросив его, невозможно сохранить строгость доказательств. Наглядный пример этого демонстрирует М. Клайн, описывая взгляды Лейбница на возможность построения универсальной логики. Перечислив три основных элемента, которые, по его мнению, являются необходимыми для такого построения (универсальный научный язык, исчерпывающий набор логических форм и набор основных понятий), он тут же делает оговорку, что к числу фундаментальных принципов следует отнести, например, закон тождества.

Совершенно очевидно, что по своей сути эти элементы вместе с законом тождества есть не что иное, как сформулированные выше четыре фундаментальных принципа математики. Современные математические теории, особенно такие "долгожители" как теория групп, имеют непреходящее значение для науки, очевидно, потому, что не просто сохраняют, но и специально оговаривают фундаментальные принципы.

Так, теория групп имеет дело с исходными множествами и операциями над их элементами при обязательном наличии единичных элементов и с применением закона композиции, т. е. по сути те же принципы имеют другие названия. Аналогичная ситуация в топологии, которая занимается построением топологических инвариантов, анализом поведения инвариантов при основных операциях, исследованием инвариантов при отображениях и оценкой соотношений между свойствами топологических пространств и их дополнений, где достаточно четко просматривается роль фундаментальных принципов.

Однако вернёмся к математическим основам экономических наук. Они в нашем случае представляют особый интерес, поскольку именно экономика является самым слабым звеном в рассматриваемой здесь системе отношений. Может быть наши классики экономических наук игнорировали какие-нибудь фундаментальные принципы? Тщательный анализ сколько-нибудь значимых теорий показывает, что все они так или иначе строятся на таком же фундаменте. Этот вывод имеет прямое отношение к политэкономии К. Маркса, который считал едва ли не главным своим достижением, сформулированный им метод восхождения от абстрактного к конкретному, где как раз и прослеживаются все четыре фундаментальных принципа.

Естественно, что эти принципы не могла проигнорировать и философия, претендующая на роль метанауки. Фундамент этот, видимо, был заложен еще в древности, поскольку до нас дошла классификация первооснов познания Аристотеля, который различал цель (то, ради чего), материю, форму и источник движения. Если это так, то вполне закономерно возникает вопрос о причинах разногласий между соперничающими научными школами. Вопрос этот далеко не так прост, как его трактуют наши учебники.

Мало сказать, что А. Богданов, например, не признавал абсолютной истины, а Г. Гегель верил в бога. Релятивизм одного и идеализм другого, действительно явились причинами того, что их главные труды огромной научной ценности оказались практически бесполезными, на которые модно лишь ссылаться и не более. Однако, как сейчас принято говорить, упущенная выгода столь велика, а негативные последствия этого столь значительны, что разобраться в причинах такого положения просто необходимо.

Это вроде бы и не входит в задачи данного исследования, но на самом деле без такого разбора невозможно сделать правильного выбора математического аппарата, ибо не ясны будут следующие шаги в этом направлении. Причины методологического тупика следует искать в философии, а точнее, в ее извечном, ставшем уже банальным, вопросе: что первично в реальном мире, а что – вторично.

Естественно, материалисты утверждают, что первична материя, идеалисты считают, что на первое место следует поставить идею, как исходный момент сознательной деятельности. Механицисты объясняют развитие природы и общества универсальными законами механического движения. Энергецисты сводят все явления природы к видоизменениям энергии. Это – основные философские направления, в рамках которых существует большое количество более мелких течений. До сих пор философы не могут найти компромиссного решения этому спору, негативные последствия которого трудно переоценить.

Кто же из них прав? Прежде, чем попытаться ответить на этот вопрос, рассмотрим один общеизвестный факт. Ни один процесс сознательной деятельности не может быть осуществлен, если отсутствует хотя бы один элемент. Прежде всего, нужен источник энергии, обязательна механическая основа со средствами движения, обеспечивающие обработку материального предмета. Естественно, процессом надо управлять. Этот факт говорит о том, что все авторы упомянутых течений правы.

Именно эта очевиднейшая для всех не-философов правота является причиной непримиримости идеологических противников, ибо философом никто не рождается. Прежде, чем им стать, человек испытывает совокупные воздействия некоторых условий, формирующих его мировоззрение, как правило, с каким-нибудь одним уклоном, так как эти объективно-реальные условия могут вызывать идеалистическую, материалистическую, механическую или энергетическую субъективные направленности. Но эти то условия формируются в системе, где энергия, механика, материя и сознание являются равноправными элементами. Без любого из них система существовать не будет.

Другое дело, что в количественном отношении в каждом конкретном случае эти элементы могут отличаться и, в зависимости от цели и условий, могут отличаться так сильно, что какие-то из них можно безболезненно проигнорировать. Однако это вовсе не означает их отсутствия. Следовательно, формальная правота представителей каждого из философских направлений, в сущности, оборачивается неправотой в том смысле, что каждый из них должен смириться с тем объективным фактом, что все другие его противники имеют точно такое же право на использование своих идеологических воззрений.

В общем, как теперь принято говорить, надо отказаться от имперских амбиций на безграничное распространение своих теоретических концепций на весь наш реальный мир, ограничившись лишь одной четвертой его частью, не больше и не меньше. Уступать своего не следует, но и претендовать на чужое не только безнравственно, но и бессмысленно, ибо это будет себе во вред. История нашей страны убедительно свидетельствует об этом.

Какое же отношение имеют эти рассуждения в неприемлемой для математиков форме к выбору математического аппарата? Самое непосредственное. Дело в том, что математика сама по себе мало чего стоит. Она рождена Природой и предназначена для ее совершенствования. В этом смысле весь аппарат математики должен отражать соответствующие реальности, формой существования которых предопределен выбор математических объектов. Только в этом случае чистая математика может принести реальную пользу.

Это, грубо говоря, то же самое, когда требуется, например, в цеху оптимальным образом расставить оборудование. Чтобы по много раз не перетаскивать станки с места на место, наилучший вариант ищется с помощью масштабных фишек на плане этого цеха. И если фишки не соответствуют размерам реальных станков, то нетрудно представить, к каким последствиям это приведет. Так и в математике. Если ее основы оторвать от реальной действительности, то она превратится в софистику, для которой всякие математические упражнения будут самоцелью и никакой реальной пользы не принесут.

Следовательно, время увлечения только чистой математикой должно безвозвратно уйти в прошлое. Она должна развиваться на равноправной и взаимообогощающейся основе совместно с философией, физикой и экономикой. Поэтому выбору математического аппарата, хотим мы этого или не хотим, всегда соответствует философское обоснование, где Философия выступает как связующий элемент между Природой и Математикой. Естественно, что формы этого обоснования могут быть разные – от простенькой методики проведения эксперимента до анализа методологических основ науки вообще и конкретного исследования в частности.

В данном случае имеет место последнее, поэтому оказались необходимыми такие несколько необычные по форме предварительные суждения философского плана. На основании таких философских обобщений реальной действительности можно констатировать, что математические объекты могут иметь множественную, комплексную, функциональную, (векторную) и параметрическую (тензорную) формы.

Они отражают качественно различную природу соответственно энергетической, механической, материальной и биологической сущности объектов реального мира (Природы и Общества). По аналогии со своей сущностью (реальным миром) эти формы в зависимости от обстоятельств могут рассматриваться и применяться либо изолированно друг от друга, либо в любом сочетании друг с другом (взаимодействии с одним, двумя или тремя другими).

Однако математические объекты разной формы взаимодействовать могут лишь в случае сопоставимости их единиц измерения. Именно в этом заключается задача третьего этапа системного анализа. Как же сделать сопоставимыми энергию, механические объекты, материальные предметы и интеллект, а значит, множества, функции, векторы и числовые параметры?

Анализируя причины парадоксов, обнаруживаемых в тех или иных теориях, можно прийти к выводу, что многие из них возникают в результате стремления ученых создать универсальный математический аппарат для математических объектов разной природы при слишком ограниченном наборе применяемых средств.

Поэтому не случайно этой проблемой занимаются многие исследователи, о чем убедительно свидетельствует библиография работ в этой области, приведенная в обстоятельном обзоре А. И. Орлова. Тем не менее применение математического аппарата "объектов нечисловой природы", а именно такой термин применяется для элементов пространств, не являющихся линейными, ограничено статистикой, а этого в нашем случае явно недостаточно. Внешне задача выражения математических объектов разной природы в числовом виде кажется достаточно простой.

На самом же деле это далеко не так. Главная трудность состоит в том, что требуется не любое число, а только такое, которое было бы, как говорят, математики, инвариантно по отношению как к линейным пространствам, так и к любому нелинейному. Попросту говоря, такое число не должно реагировать ни на возведение в степень, ни на извлечение корня и, в идеале, ни на любую другую операцию над числами, результатом которой может быть это инвариантное число. Эта проблема имеет давнюю историю.

Еще в середине 19-го века Д. Буль разработал математический аппарат символической логики – Булевой алгебры, в основе которой были определены две операции по отношению к единице. Этот аппарат постоянно совершенствовался и нашел широкое применение в топологии, теории вероятности, функциональном анализе и в, других областях математики. По сути, этот аппарат наиболее близок к тому идеалу, о котором шла речь выше.

Если говорить об операциях, то их в Булевой алгебре фактически три: помимо сложения и умножения применяется отрицание (дополнение). Кроме элемента X, единицы и нуля алгебра содержит элемент Сх в качестве дополнения к X. Естественно, имеется соответствующий набор аксиом, которым должны удовлетворять операции. Все это позволяет достичь весьма высокой степени абстрагирования, но тем не менее полной универсализации обеспечить не удалось. К тому же оказался достаточно сложным "выход" из Булевой алгебры в обычную, да и "вход" тоже.

Теория групп в этом отношении более универсальна, т. к. имеет в своем распоряжении, кроме единичного, обратный элемент, позволяющий любое выражение приводить к единице. Однако несмотря на свою универсальность и существенные успехи в прикладных науках эту теорию в ее обычном виде вряд ли можно будет использовать в данном случае по прямому назначению. Видимо потребуются некоторые усовершенствования формального характера.

Дело в том, что в прикладных науках так называемых непрестижных отраслей, в том числе в экономике, никто, пожалуй, кроме Л. В. Канторовича, всерьёз математику не применял. Задачи вычислительно- оптимизационного характера являются вторичными, поэтому они не в счет, ибо математика в них выполняет роль счетного инструмента, которому безразлично, что считать. Методологической нагрузки она не несёт практически никакой. И в этом смысле экономике не повезло еще со времён Маркса, который, судя по всему, только к концу своей научной карьеры осознал, что без солидной математической основы ни о какой политэкономии социализма, а тем более коммунизма, не может быть речи.

В частности, научный уровень "Математических рукописей", время проявленного интереса к разным областям математики и попытки использовать их при написании "Капитала", очевидно, могут служить; основанием для вывода о том, что затруднения с математикой у Маркса возникали не потому, что он не смог разобраться в существовавшем тогда математическом аппарате (такой проблемы не могло существовать для человека, изучавшего иностранные языки только для того, чтобы читать интересующие его источники в оригинале).

Почти наверняка можно утверждать, что эти затруднения носили методологический характер, причем не столько со стороны математики, сколько со стороны политэкономии. Эта математическая задача в ряду с предыдущими выделяется своими негативными последствиями.

Не будет преувеличением сказать, что ее решение, а точнее – нерешение, является причиной того, что до сих пор не разрешено главное противоречие социализма – распределение по труду. Для выяснения сути этого противоречия придется привлекать методы не только из философии, но и из физики, и даже из биологии.

Итак, суть этой задачи сводится к конструированию такого механизма, который позволял бы легко переходить, например, от функционального математического аппарата к множественному, комплексному или параметрическому, т. е. от любого к любому. Это жизненно необходимо, в принципе, для описания любой реальной системы, но особенно – экономической, где невозможно сбалансировать хозяйственный механизм, не имея соответствующих эквивалентов, подобных механическому эквиваленту теплоты в физике.

Почему речь идет о конструировании механизма, а допустим, не о разработке или создании? Дело в том, что при небольшой смысловой разнице в терминах все-таки есть особенность, которую любят подчеркивать математики: они ничего не должны изобретать, а должны конструировать, ибо изобретенный элемент может нарушить логическую строгость доказательства. Против этого нельзя возражать, но опять-таки, если это требование не распространить на исходные "кирпичики", из которых "строится" логика доказательств. Эти универсальные "кирпичики" можно и должно изобретать, т. е. получать путем максимально возможного абстрагирования используемых математических средств и понятий.

Математики в таких случаях говорят, что необходим набор неопределимых (исходных, первичных) понятий. Философы тем более не сомневаются в необходимости таких абсолютных абстракций. В этом вопросе нет никаких разногласий. Но они неизбежно возникают, когда требуется уточнить этот набор как по форме, так и по содержанию.

Одни считают, что это должны быть некоторые множества, другие ориентируются на логические операции, третьи убеждены, что надо брать за основу материалистические категории, а четвертые предпочитают опираться на свою интуицию. Нет единства не только в качественной, но и в количественной оценках этого набора понятий.

Представители школы Э. Маха, и особенно в этом преуспел его ученик А. Эйнштейн, считают, что чем меньше исходных предпосылок имеет теория, тем она совершеннее. И вообще, если бы удалось всю теорию вывести из одного понятия, то это был бы идеальный случай. По всей видимости именно из этих соображений автор теории относительности изобрел пространственно-временной континуум, оматеризовав при этом пространство и время. Приверженцами монизма являются, по сути дела, все ортодоксальные теоретики.

Плюралисты же, наоборот, считают, что нельзя ограничиться каким-то определенным набором несводимых к единому началу понятий. Рожденный Г. Лейбницем плюрализм до недавнего времени считался философией современных идеалистов, к которым причисляли прагматистов, неопозитивистов и других "-истов". Теперь же плюрализм возведен в ранг государственной политики. Своего рода умеренным плюрализмом можно считать конвенционализм А. Пуанкаре, согласно которому вопрос об исходных научных понятиях должен решаться посредством соглашения (конвенции) между учеными, исходя из соображений простоты, удобства и других признаков.

Большой популярностью до сих пор пользуется дуализм Декарта и Канта, которые пытались примирить материализм и идеализм. Заметный след в науке оставили триады Гегеля, которыми, по выражению Ленина, "кокетничал" Маркс в 1 главе "Капитала", в результате чего, по его мнению, никто из марксистов не понял Маркса полвека спустя. Но не поняли (можно утверждать, что и до сих пор не понимают) не только Маркса, но и Гегеля. Очевидно по этой причине, а может быть вследствие осознания их величия и гениальности, критики не осмелились "наклеить" хлесткий "ярлык" в виде какого-нибудь "-изма" на учение, основанное на триадах.

Не встречается в философской литературе такого же "-изма", в основе которого лежала бы четверка исходных понятий, хотя и гегелевские крути кругов, и квадратуры Маркса, и четырехэлементная теория отражения Ленина чем-то напоминают логические квадраты Пселлома, предложенные им еще в XI веке.

Тем не менее, именно Ленин беспощадно громил авторов четвертого измерения пространства. Но делал он это, как теперь выясняется совершенно напрасно, ибо как раз четвертого геометрического измерения не хватает для исчерпывающего представления, например, о форме (кроме трех габаритных размеров необходимо еще иметь структурный параметр, который в простейшем случае может быть представлен толщиной стенки или размером внутренней полости).

В защиту четвертого измерения свидетельствует тот факт, что замкнутые кривые, с внутренними петлями, представленные одним уравнением в одной системе координат могут быть получены сравнительно простыми средствами, если это уравнение имеет четвертую степень. Еще более убедителен этот факт, если таких замкнутых кривых, похожих друг на друга, надо иметь не одну, а несколько (в случае со строением атома это имеет принципиальное значение).

Для самых придирчивых математиков мы попытаемся соблюсти логическую строгость и показать, что всякая система, в т. ч. система исходных понятий, может быть названа системой, если она имеет четыре элемента (необходимое, но не достаточное условие). Пока мы ограничимся констатацией фактов и абстрагированием посредством аналогий.

Так математика всегда обходилась четырьмя простейшими арифметическими действиями: сложением, умножением, вычитанием и делением, но применяться эти действия надо именно в такой последовательности. В теории групп оказывается достаточным иметь исходное множество, операции над ее элементами, единичный и обратный элементы. Этот перечень можно продолжать, но из математики примеров уже достаточно.

Для большей убедительности можно привести еще один пример, но уже из области техники. Ни одна автоматическая система не будет работоспособной, если она не будет иметь необходимый минимум элементов: объект управления, датчик, задатчик и исполнительный орган. Отсутствие любого из элементов делает систему бессмысленной. Таким образом, можно констатировать, что набор неопределимых понятий должен состоять из 4-х исходных категорий. Если известно их число, то, руководствуясь принципом симметрии, о котором шла речь выше, не составляет большой проблемы выбор самих категорий.

В философии помогает сделать такой выбор гегелевские парные понятия неопределенного и определенного качества и количества, из которых получается система: свойство, качество, мера, количество. Этот выбор можно проиллюстрировать на самом простом примере: любой товар имеет название, качество, единицу измерения (меру), и число единиц (количество). В математике это будут: отображение множества, само множество, свойства элементов и область существования. В этой системе понятий центральное место принадлежит "мере", которая должна отображать некоторые константы в реальном мире.

Кроме единиц измерения, роль постоянства которых известна всем с младенчества, существуют еще жизненно важные константы, относительно которых можно оценивать качественные состояния объектов независимо от их природы с целью их сопоставления. Примером может служить предел существования в биологии, предел прочности в механике, предел сохранения целостности (неразрывности) в физике и т. д.

Но предел – это то, чего нельзя превысить. А есть, так называемые, узловые точки, при переходе через которые меняется либо знак, либо состояние, либо вид. Здесь, как нигде более, очень важно сопоставить понятие констант, разных по своей природе, и найти соответствующие зависимости.

Заблуждения академика Кашина Б.С.

В интернете опубликована статья: "С этой властью – тупик" – академик Борис Кашин. В статье сделана подборка высказываний академика Российской академии наук, профессора Бориса Сергеевича Кашина о президенте Путине, сложившейся при нём системе власти и о катастрофическом положении дел в нашей науке. Редакция спрашивает: «А что вы, уважаемые читатели, думаете по этому поводу?» Вот что автор книги думает по этому поводу.

Конечно, положение дел в науке если не катастрофическое, то, во всяком случае, далекое от нормального состояния. Но… Во-первых, не во всей науке, а, во-вторых, не только Путин за это ответственен.

Во-вторых, речь должна идти не о тех научных работниках, которые в большинстве своем не удостоены академических званий, но верой и правдой служат науке и создают уникальные технические системы.

Речь должна идти, главным образом, об Академии Наук России, прежде всего о тех ее членах, кто когда-то сделал что-то хорошее и получил за это соответствующие пожизненные блага. Бывает, что отец «протолкнет» туда сына или еще каким-нибудь нехорошим способом человек туда попадает. Но все-таки туда попадают за что-то.

Ну а дальше, став академиками, получают немалые привилегии и денежные вознаграждения не за результаты работы, а за звания, которые являются моральным поощрением, а не материальным.

Раньше в отраслевых институтах неостепененные сотрудники на различных должностях имели оклады примерно в два раза меньшие, чем у остепененных. Это был отличный стимул повышать квалификацию ученых. Специально за степени и, тем более звания никто ничего не платил. Академикам платят, непонятно за что.

Они возомнили себя носителями истины в последней инстанции и решили, что схватили черта за бороду. Им можно изрекать непогрешимое мнение, которое нельзя критиковать и излагать что-либо, отличное от их мнения.

Но не надо бы забывать о том, что академик тоже человек и он может ошибаться, тем более не в тех областях, где он преуспел. Короче говоря, создается каста «неприкасаемых», где можно материализовать пространство и время, придумывать виртуальные кванты и оболванивать народ прочими сказками. Вот, дескать, мы это знаем, а Вам, дуракам, знать не обязательно. Вы должны в это поверить.

А чтобы неповадно было не верить, создается комиссия по лженауке и прочие запретительные органы. Кто-нибудь может напечатать в академических или институтских изданиях что-нибудь даже слегка отличное от политики организации? Редакционная коллегия не пропустит.

А ведь печатные издания для того и создаются, чтобы учесть разные мнения на проблему. К тому же, печатные издания должны быть независимыми. Редакция может поинтересоваться мнением авторитетной организации или маститого академика, но решение принимать она должна самостоятельно.

Автор книги только слегка прокомментировал статью академика Глазьева, как его комментарий был немедленно удален с его, и ему запретили вообще заходить на сайт и что-нибудь писать или комментировать на этом сайте.

Автор подумал, что это сделали сотрудники сайта – сторонники академика, и написал ему лично письмо с просьбой хотя бы прочесть статью. Наверняка прочитал, но не ответил. Излюбленный способ, замолчать проблему, если ее решение противоречит твоей точке зрения. Как будто проблемы не существует. Глухое молчание. Что, в этом Путин виноват?

Такое впечатление, что лукавит академик Кашин. Он и решился на резкую критику Путина, очевидно, потому что увидел угрозу своему положению. Говоря о Путине и системе управления страной, которая сложилась при нём, академик утверждает, что «Президент отгородился от народа и даже от парламента, который не может ему задать ни одного вопроса. Он произвольно принимает решения, многие из которых противоречат общественным и государственным интересам».

Ну, во-первых, не столько Путин «отгородился» от народа, сколько его «отгородила» бюрократическая машина, которая исправно и вовсю работает и в Администрации Президента, и в Правительстве, и а Академии Наук, и во всех других государственных органах. Основой этой машины является чиновник, который, попав на тепленькое место, не хочет рисковать и что-то предпринимать, отличное от того, что хочет начальник, от которого зависит его карьера. И решение о допуске обращения к своему высшему руководителю принимает не специалист, а какой-нибудь клерк типа консультанта, который ничего не понимает в проблеме.

Во-вторых, если, получив письмо, нельзя его замолчать (некоторые организации создают специальные средства контроля), делается отписка со ссылкой на какие-нибудь законы. Из этой отписки следует, что ты сам виноват, неправильно написал, типа ты дурак, а мы белые и пушистые, нам закон не позволяет сделать то, что Вы предлагаете. А кто этот закон писал? Ну а, если отписаться нельзя, письмо отсылается в нижестоящие или другие организации, которые не имеют полномочий решать поднимаемую проблему. На собственном опыте автор убедился в этом.

В-третьих, какие еще можно принимать решения Президенту, если Кудрин ему говорит одно, Глазьев – другое, Белозеров – третье, а институт экономики РАН, вместо разработки моделей на основе всеобщих закономерностей, занимается всем, чем угодно, только не фундаментальными проблемами экономики. Там спорит о том, кто, когда и что сказал, участвуя во всяких гайдаровских чтениях и прочей ерунде.

Конкретный пример. Руководство международного комитета по стандартизации направило в институт экономики РАН статью автора книги о технологической эксплуатации с просьбой дать заключение. Глухое молчание. Не сами ли академики виноваты в «неправильных» решениях Президента?

Почему, например, в свое время целая когорта академиков так и не разработала программу "500 дней"? Почему академик Абалкин, так активно критиковавший экономику, в роли заместителя Председателя Правительства так ничего и не смог с ней сделать? Показателен в этом плане и научный доклад РАН «О стратегии развития экономики России.»

Удивительное дело, рядовой кандидат технических наук знает, что экономика – это такая же, как и все, система и должна работать точно так же, имея все элементы, присущие системам. А академики этого не знают, и создают экономические системы, которые не работают. Непростительно Вам, господа академики.

Поэтому Путин и вынужден сам принимать решения по своему уразумению. Организатор он хороший, а экономических и других специальных знаний не хватает, и ему никто ничего дельного предложить не может.

Академик считает, что

"…Последние изменения, внесенные в конституцию, сделали и без того чрезмерную власть президента абсолютной. Его окружение остается на плаву независимо от результатов своей деятельности…"

Да, это, в какой-то мере, так. Но при российской расхлябанности и вольнодумстве чиновников это неизбежно, нужна сильная центральная власть. Что касается окружения, возможно, что-то имеет место, но посмотрите, как он умеет подбирать кадры. Только Шойгу с Лавровым чего стоят. К тому же он вынужден применять политику противовесов опять-таки потому, что никто не может ему сказать, а как надо. Академики не создали сбалансированной модели.

С нынешней властью в стране наука находится в тупике, говорит академик. Дескать "Дела в науке развиваются от плохого к худшему. Перспективы при нынешней политике абсолютно не видно. Власть завела науку в тупик"

Да, это тоже так. Но не только власть это сделала, а сами академики ей помогли. Взять, хотя бы то, что изложено в статье автора книги «Смею возразить академику Александрову». Кроме того, в своем письме Президенту РАН автор подробно описал, что делается в Российской науке системным принципам вопреки. Глухое молчание.

Академик говорит о политике вредительства в отношении науки со стороны российских властей:

"…Если мы посмотрим науку, у нас идёт деятельность, которую надо самым внимательным образом спецслужбам изучить на предмет вредительства."

Все с точностью до наоборот. Вот уж, действительно, надо разбираться не только с чиновниками, но и с вредной деятельностью некоторых академиков. Не зря еще Пуанкаре считал, что нет ничего в науке вреднее авторитетов.

Да, прав академик

"…Наука оказалась заложником полуфеодальной системы принятия решений и полной безответственности высших должностных лиц. В таких условиях на всех этажах чиновничьей пирамиды нас подстерегают три опасности – невежество, стяжательство и вредительство."

Но это в полной мере относится и к Академии наук, к ее институтам и академикам. У них должно быть коллективное понимание важности той особой роли, которую играет Академия наук и ее институты в научном сообществе. Нужно осознание академиками – членами мозгового центра главного научного центра России своей персональной ответственности за недостатки в науке перед зависимыми от них научными работниками среднего и нижнего уровней, пользующихся в своей творческой деятельности результатами их труда.

Этих специалистов не устраивает часто слишком сложная релятивистская наука с не совсем, а иногда с совсем непонятными им не нужными конструкциями. Это не значит, что это никому не надо. Надо, раз государство за это платит деньги. Но не надо забывать, что академики работают не в простых институтах, а в академических, которым по штату положено заботиться о методологии для научных работников среднего и нижнего уровня. Им нужна более прагматичная наука с понятными "азами", основанными на закономерностях природы. А кому, как не академическим институтам положено это делать?

К сожалению, академические институты наловчились одурачивать депутатов и Правительство, и вместо того, что им НУЖНО делать в соответствии с их статусом, в своих положениях записывают, лишь то, что они МОГУТ делать. Если в такой институт обращается кто-то из нижних инстанций, то применяется стандартная отписка типа «в ответ на Ваше обращение сообщаем, что институт не занимается проблемами, которые Вы поднимаете. Рекомендуем обратиться в другие профильные организации.»

Академик сетует, что Президент «отгородился от народа и даже от парламента». А сами академики не имеют этого недостатка? Имеют. Автор как-то задал вопрос всем математиками, в частности, всем членам Ученого Совета института математики РАН, членам которого является академик Кашин Б.С.: «У Вас все в порядке с основами?» И что? А ничего. Ни один из двадцати членов совета не ответил заявителю. Характерно, что в этом Ученом совете есть и доктора наук, и кандидаты. Тоже, видимо, мания величия заела. Глухое молчание. Как будто нет никакой проблемы. А проблема есть. И большая.

Наведите сначала у себя порядок с основами математики, господа академики. Дайте Путину доступную математическую модель идеального управления, тогда и покритиковать его можно. А то получается, как в басне: «Чем кумушек считать трудиться…» и далее по тексту.

Вопросы математикам, на которые они не знают ответов.

Аспирант:

– Профессор! Скажите, в каких случаях какой

следует применять математический аппарат?

Профессор

(после длительной паузы):

– Молодой человек! Вы слишком

многого хотите от науки!

Аспирант:

– Совсем немного. Хочу, чтобы применяемый

метод исследования объекта определял

соответствующий математический аппарат.

Профессор:

– Увы… пока это невозможно.

(Спустя десятилетия любопытный

аспирант сам решил эту проблему.)

Что такое математика и с чего она начинается? Особую остроту этому вопросу придал выдающийся математик Герман Вейль, сказав, что вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Современные математики и философы также считают, что кризис математики не преодолен, существует неуверенность в выборе правильного подхода к математике, возникают конфликты по основаниям математики, развитие и применение математической методологии оставляет желать лучшего. Это наверняка известно математикам. Но об этом приходится напоминать, поскольку с точки зрения теории систем возникает ряд тривиальных вопросов к основам математики.

Вопрос № 1:

Все ли математики знают истинное место математики в классификации основных наук?

Вряд ли. Дело в том, что классификация основных наук начинается с системологии, которая является всеобщей (универсальной) методологией всех наук. Она состоит из 4 общих методов: системного подхода, системного анализа, системного синтеза и системотехники. Системотехника здесь содержит слово «техника», имеющее первоначальный древнегреческий смысл «εχνικός», как мастерство или умение применять системные методы в сознательной деятельности.

В каждом из этих методов используется система основные науки: естествознание, философия, математика и техника, как разновидности сознательной деятельности. Причем, каждый метод использует свой присущий только ему раздел науки. Системный подход оперирует материалистической философией и теорией множеств. Системный анализ использует диалектику и комплексный анализ. В системном синтезе философской основой является логика, а математической – векторы. Системотехника применяет философские законы и тензорное исчисление.

Система, как известно, состоит из четырех элементов, расположенных в строгом порядке, где каждый последующий элемент содержит все предыдущие. Поскольку элемент «техника» в данной книге не рассматривается, то «математика» однозначно содержит «естествознание» и «философию».

Именно поэтому математика в своей основе имеет дело с реальными, а точнее, с природными целостными объектами, отображаемыми философскими понятиями и определениями, которые математика моделирует своими условными символами. С этими символами она и работает, создавая модели, реализуемые в будущих реальных объектах. Это прописные истины, над которыми математики, как правило, не задумываются. Они работают с веками созданной математикой и думают, что это так и должно быть. Однако задуматься бы надо. За многие годы известные математики напридумывали много такого, чего в природе не существует, следовательно, не имеет практического применения.

Вопрос № 2:

Известно ли математикам, что любая система, в том числе математическая, имеет всеобщие признаки?

Система первичных математических объектов, как и любая другая, имеет четыре признака:

Количественный – система имеет только четыре структурных образования от одного до четырех взаимосвязанных элементов в каждом;

Метрологический – каждый элемент системы имеет свою меру: реальную величину, изменяющуюся в идеальных пределах;

Качественный – в системе всегда имеется три вида структурных образования по три элемента в каждом: каждый последующий элемент содержит все предыдущие, каждая связь имеет положительное, нейтральное и отрицательное состояния, каждый предыдущий элемент содержит последующий;

Видовой – каждая система имеет четыре вида регулирования (управления): неопределенный – по одному критерию, неоднозначный – по двум критериям, определенный – по трем критериям, однозначный – по четырем критериям.

Вопрос № 3.

Знают ли математики, что их наука содержит систему противоречий?

Очевидно, знают, что есть некоторые противоречия, но какова их система, они вряд ли знают. А она основана на философском понятии «мера». Это единицы измерения, пределы изменчивости, границы перехода из одного состояния в другое (узловые соотношения меры) и отображения (философские отрицания).

Вопрос № 4:

Понимают ли математики, что первичные математические объекты не систематизированы?

У них нет особых претензий к ним: работают с тем, что имеет современная математика. Но при ближайшем рассмотрении претензии возникают к их физической сущности, признакам и определениям. Привязка математических объектов к реальным простейшим элементам Природы выявляет некоторые системные несоответствия. Требуется уточнение их физической природы, функций, структуры и степени определенности.

И здесь возникает целая серия вопросов.

Не совсем понятно, а точнее, совсем непонятно, какими общепринятыми и новыми условными обозначениями, и математическими названиями все это отобразить? В частности, бесконечные множества этих единичных элементов и переходы от одного к другому. Как образуются в энергетической среде космические вихри, которые создают ядра галактик? Как на этих ядрах возникают космические волны, которые превращаются в атомы? Как излучения атомов создают биологические вещества?

Признаки первичных математических объектов.

Даже беглого взгляда достаточно, чтобы понять, что совокупность первичных математических объектов не является системой. Почему это не система и что необходимо сделать, чтобы они стали таковой? В математической справочной литературе и в интернете с некоторой натяжкой можно найти четыре приведенных выше основных первичных структурных образования, но нигде не сказано определенно, сколько подчиненных элементов они должны иметь.

В соответствии с требованиями системности первый элемент (множество) должен быть целостным с единой структурой, второй (функции) должен иметь два элемента, третий (вектор) – три, а четвертый (тензор) – четыре.

1. Количественный признак. Из всех первичных математических объектов только множество соответствует системным требованиям, да и то в качестве неопределенности. Множество является не таким уж простым понятием, как это представляется. Это целая система понятий с разной степенью определенности от абсолютной неопределенности до однозначности.

Множество должно быть количеством чего-то, в данном случае, первичных объектов. как основополагающих: множества, комплексов, векторов и тензоров. Все четыре объекта, как единичные элементы, являются целостными образованиями и образуют соответствующие множества. Схематично это можно представить следующим образом (рис. 1):

M_m – множество; M_k – множество комплексов; M_r – множество векторов; M_𝛕 – множество тензоров.

Рисунок 1. Система множеств первичных математических объектов.

Последовательность внутренних множеств в первичных математических объектах представлена на рис. 2.

Рисунок 2. Последовательность внутренних множеств в первичных математических объектах.

Количественная интерпретация первичных математических объектов, которая отражает их свойство каждого последующего элемента содержать предыдущий, представлена на рис. 3.

Рисунок 3. Количественная интерпретация первичных математических объектов.

2. Метрологический признак. Единичные элементы этих множеств являются их единицами измерения и представляют собой единственную меру количества. Это, так называемые, одномерные множества.

Все первичные объекты обладают одновременным вращением и перемещением, поэтому одно и тоже множество имеет, с одной стороны, пространство, занятое плотными вращающимися элементами, а, с другой стороны, разреженное пространство, как область их существования при вечном движении. Это двумерное множество или комплексное множество.

Один и тот же элемент в зависимости от его величины и скорости движения может обладать в разное время тремя фазовыми состояниями, подобными состояниям воды. Но все множество разных по величине объектов одновременно имеет три состояния, как например, состояния всех химических элементов на Земле. Это трехмерные множества или векторные множества.

Одни и те же объекты могут находиться в четырех состояниях. Например, из древесины дуба можно изготовить предмет культурного назначения, а можно его химически переработать на дубовый экстракт или использовать на механические цели, а можно просто сжечь как топливо. Это четырехмерные множества или тензорные множества.

Схематично это можно представить следующим образом (рис. 4):

Рисунок 4. Многомерность первичных математических объектов.

3. Качественный признак. Философская категория «качество» отображает структурные элементы системы, но не как взаимодействие всех со всеми, а в строго определенном порядке, когда последующий элемент содержит предыдущий, а значит все предыдущие. Простейший пример представлен на рис. 5.

Рисунок 5. Простейший пример взаимодействия

первичных математических объектов

4. Видовой признак. Виды регулирования (управления) характерны для систем разных уровней. Общая схема представлена на рис. 6.

Рисунок 6. Общая схема видовых признаков систем.

Неопределенный вид характерен для бесконечных множеств, представляющих первичную среду существования. Это множество можно назвать бесконечным, а её область существования бесконечностью. Из этой среды образуется ядро космической системы, которое содержит бесконечно большое количество материальных элементов. Их во много раз меньше, чем в среде, но тем не менее их бесконечно большое количество. Если в материальной среде элементом является бесконечно малая единица, то космическим элементом является бесконечно большая единица. В космосе таких единиц бесконечно большое количество.

Таким образом, на космическом уровне существует две единицы и два разных по величине бесконечно больших множества, связанных между собой через единицы. Бесконечно большая единица отличается от бесконечно малой тем, что, помимо вращательного и поступательного движения, свойственного материальным частицам, космический объект, вращаясь, увлекает за собой такое же количество элементов среды, какое содержит сам объект, т.е. имеет внутреннее содержание и внешнюю среду

Именно во внешней среде космического объекта за счет движения единичных элементов материальной среды образуется два вида космических волн. Поперечные волны являются источником создания планет вокруг ядра, а продольные волны создают на планетах материальные оболочки. Размеры начальной амплитуды этих волн соизмеримы с размерами излучаемого объекта. Спирально уменьшающиеся продольные волны, перемещаясь на бесконечно большие расстояния, превращаются в бесконечно малые волновые объекты, из которых образуются элементы атомов. Бесконечно малых атомов имеется бесконечно большое число.

Это третья связанная пара единичных элементов и их бесконечно больших множеств. Причем третий единичный элемент включает в себя свойства движения материальных частиц и внешнюю и внутреннюю структуру космических объектов с их способностью излучать волны. Но атомарные волны в бесконечно большое количество раз меньше космических. Атомарная среда является источником образования третьей совокупности бесконечностей и не может существовать без первых двух.

Атомарные волны, перемещаясь на бесконечные для них расстояния, превращаются в бесконечно малые атомарные волновые объекты, из которых образуются единичные биологические объекты в бесконечно большом количестве. Это четвертая среда, единичный элемент которой, обладая свойствами трех предыдущих, может пребывать в четырех отображенных состояниях, что делает четвертый элемент четырехмерным и с конкретным именем. На этом уровне энергетический запас иссякает и объект «растворяется» в энергетической среде, превращаясь в материальные частицы и замыкая самый большой цикл в природе.

Таким образом, в природе существует четыре иерархических уровня сред, представляющих пары бесконечно больших и бесконечно малых величин (рис.7).

Рисунок 7. Система сред существования.

Следовательно, бесконечности могут четырежды отображаться в другие бесконечности. Это уровни бесконечных величин отображают последовательность физических сред существования: энергетическая, космическая, материальная и биологическая.

Неоднозначный вид характерен для множеств, изменяющихся от единицы до некоторого предела, но обладающих устойчивым равновесием в половине предельного значения.